Question

12．如图所示，长方体ABCD-EFGH，底面是边长为2$\sqrt{3}$的正方形，DH=2，P为AH中点．
（1）求四棱锥F-ABCD的体积；
（2）若点M在正方形ABCD内（包括边界），且三棱锥P-AMB体积是四棱锥F-ABCD体积的$\frac{1}{8}$，请指出满足要求的点M的轨迹，并在图中画出轨迹图形．

Answer 1

分析 （1）V_F-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•DH$；
（2）设点M到AB的距离为h，则V_P-AMB=$\frac{1}{3}$S_△AMB•1=1，解出h即可得出M的轨迹．

解答 解：（1）V_F-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•DH$=$\frac{1}{3}×（2\sqrt{3}）^{2}×2$=8．
（2）设点M到AB的距离为h，则S_△AMB=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×h$=$\sqrt{3}h$．
∵P为AH的中点，
∴点P到平面AMB的距离为1，
∴V_P-AMB=$\frac{1}{3}{S}_{△AMB}•1$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}h×1$=$\frac{1}{8}×8$=1，
∴$h=\sqrt{3}$，
∴点M的轨迹是连接AD中点和BC中点的线段．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，属于基础题．