Question

18．在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=$\frac{π}{3}$与曲线C₂交于点D（4，$\frac{π}{3}$）．
（1）求曲线C₁的普通方程及C₂的直角坐标方程；
（2）在极坐标系中，A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）是曲线C₁的两点，求$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）消去参数，可得曲线C₁的普通方程，利用曲线C₂是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=$\frac{π}{3}$与曲线C₂交于点D（4，$\frac{π}{3}$），可得曲线C₂的普通方程；
（2）曲线C₁的极坐标方程为ρ²=$\frac{4}{4co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}$，代入，可得$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$的值．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），普通方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
曲线C₂是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=$\frac{π}{3}$与曲线C₂交于点D（4，$\frac{π}{3}$），
曲线C₂的普通方程为（x-4）²+y²=16-----------（4分）
（2）曲线C₁的极坐标方程为${ρ}^{2}co{s}^{2}θ+\frac{{ρ}^{2}si{n}^{2}θ}{4}$=1，∴ρ²=$\frac{4}{4co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}$，
所以$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=$\frac{4si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}{4}+\frac{4co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}{4}$=$\frac{5}{4}$-----------------------（10分）

点评 本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程的互化，考查学生的计算能力，比较基础．