Question

17．已知函数f（x）=$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$，则下列命题中正确命题的序号是①②④．
①f（x）是偶函数；
②f（x）的值域是[$\sqrt{2}$，2]；
③当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）单调递增；
④当且仅当x=2kπ±$\frac{π}{2}$（k∈Z）时，f（x）=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得此分段函数的解析式，由函数的图象和性质依次判断四个命题的真假，即可得解．

解答 解：对于①，由于f（-x）=$\sqrt{1-sinx}$+$\sqrt{1+sinx}$=f（x），故正确；
对于②，由题意函数f（x）=$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$=|sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$|+|sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$|=$\left\{\begin{array}{l}{2sin\frac{x}{2}}&{sin\frac{x}{2}≥cos\frac{x}{2}}\\{2cos\frac{x}{2}}&{sin\frac{x}{2}＜cos\frac{x}{2}}\end{array}\right.$，
所以：在x=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z）时，函数图象位于最低点，
该函数取得最小值$\sqrt{2}$，当且仅当x=kπ（k∈Z）时，函数图象位于最高点为2，故正确；
对于③，当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，$\frac{x}{2}$∈[0，$\frac{π}{4}$]，可得cos$\frac{x}{2}$≥sin$\frac{x}{2}$，
由题意函数f（x）=$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$=|sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$|+|sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$|=2cos$\frac{x}{2}$，
由余弦函数的性质可得：f（x）=2cos$\frac{x}{2}$，当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）单调递减，故错误；
对于④，当x=2kπ±$\frac{π}{2}$（k∈Z）时，可得sinx=±1，可得：f（x）=$\sqrt{2}$．
反之，当f（x）=$\sqrt{2}$时，函数图象位于最低点，x=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），故正确；
故答案为：①②④．

点评 本题主要考查了三角函数的最值，函数图象的运用，由函数的图象研究函数的性质，并以由图象研究出的结论判断和函数有关的命题的真假，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．