Question

7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos²$\frac{A}{2}$=$\frac{b+c}{2b}$，则角B=90°．

Answer 1

分析 根据二倍角公式和正弦定理，化简cos²$\frac{A}{2}$=$\frac{b+c}{2b}$得出cosAsinB=sinC；
再利用三角形内角和公式与两角和的正弦公式写出sinC，即可求出B的值．

解答 解：△ABC中，cos²$\frac{A}{2}$=$\frac{b+c}{2b}$，
∴$\frac{1+cosA}{2}$=$\frac{sinB+sinC}{2sinB}$，
∴$\frac{cosA}{2}$=$\frac{sinC}{2sinB}$，
即cosAsinB=sinC；
又sinC=sin[180°-（A+B）]=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinAcosB=0；
又A、B∈（0°，180°），
∴sinA≠0，cosB=0；
∴B=90°．
故答案为：90°．

点评 本题考查了二倍角公式与三角形内角和公式、两角和的正弦公式的应用问题，是综合性题目．