Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若P为椭圆C上任意一点，以P为圆心，OP为半径的圆P与以椭圆C的右焦点E为圆心，其中O为坐标原点，以$\sqrt{5}$为半径的圆F相交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）先根据短轴的长求得b，再根据离心率得出a，c关系，求得a的值，求得椭圆方程；
（2）求得焦点坐标及圆的方程，设出P点坐标，求得直线AB方程，由题意可知，求得丨AB丨及点P到直线AB的最大值丨PC丨，根据三角形面积公式即可求得△PAB面积的最大值．

解答 解：（1）由题意可得：2b=2，b=1，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
解得a=2，
椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
（2）由（1）可知，c=$\sqrt{3}$，
∴点F（$\sqrt{3}$，1）
∴圆的方程为（x-$\sqrt{3}$）²+y²=5，
设P（x₀，y₀）则圆P的方程为：（x-x₀）²+（y-x₀）²=x₀²+x₀²，
即x²+y²-2x₀x-2y₀y=0，
直线AB的方程为：（x₀-$\sqrt{3}$）x+y₀y-1=0，
连接PF，交AB于C点，则点F到直线AB的距离丨FC丨=$\frac{丨\sqrt{3}（{x}_{0}-\sqrt{3}）-1丨}{\sqrt{（{x}_{0}-\sqrt{3}）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{丨\sqrt{3}{x}_{0}-4丨}{\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-2\sqrt{3}{x}_{0}+3}}$，
∵P（x₀，y₀）在椭圆上，即$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+{y}_{0}^{2}=1$，
∴丨FC丨=$\frac{丨\sqrt{3}{x}_{0}-4丨}{\sqrt{{x}_{0}^{2}+（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{4}）-2\sqrt{3}{x}_{0}+4}}$=$\frac{丨\sqrt{3}{x}_{0}-4丨}{\sqrt{\frac{3}{4}{x}_{0}^{2}-2\sqrt{3}{x}_{0}+4}}$=$\frac{丨\sqrt{3}{x}_{0}-4丨}{\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}-2）^{2}}}$=2，
连接BF在Rt△FCB中，丨BC丨=$\sqrt{丨FB{丨}^{2}-丨FC{丨}^{2}}$=$\sqrt{5-4}$=1，
∴丨AB丨=2丨BC丨=2，
∵点P（x₀，y₀）在椭圆上，点F为椭圆的右焦点，
∴丨FC丨_max=$\sqrt{3}$+2，
又丨PC丨=丨PF丨-丨FC丨=丨PF-2丨，
∴丨PC丨_max=$\sqrt{3}$，
△PAB面积的最大值：$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了椭圆的标准方程及简单性质．要熟练掌握椭圆的基本性质及标准方程中a，b和c的关系，直线与圆锥曲线的关系，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式，考查了推理能力、计算能力、分析问题和解决问题的能力，属于中档题．