Question

16．△ABC中，∠A=$\frac{2}{3}$π，AB=2，BC=$\sqrt{6}$，D在BC边上，AD=BD，则AD=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 在△ABC中，根据条件的正弦定理求出角B、C，由边角关系和内角和定理求出∠BAD、∠ADB，在△ABD中，由正弦定理和特殊角的三角函数值求出AD．

解答 解：如图所示：∵在△ABC中，∠A=$\frac{2}{3}$π，AB=2，BC=$\sqrt{6}$，
∴由正弦定理得$\frac{BC}{sin∠A}=\frac{AB}{sin∠C}$，
则sin∠C=$\frac{AB•sin∠A}{BC}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵∠A是钝角，且0＜∠C＜π，∴∠C=$\frac{π}{4}$，
则∠B=π-∠A-∠C=$π-\frac{2π}{3}-\frac{π}{4}$=$\frac{π}{12}$，
∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=$\frac{π}{12}$，则∠ADB=π-∠B-∠BAD=$\frac{5π}{6}$，
在△ABD中，由正弦定理得$\frac{AD}{sin∠B}=\frac{AB}{sin∠ADB}$，
∴AD=$\frac{AB•sin∠B}{sin∠ADB}$=$\frac{2•sin\frac{π}{12}}{sin\frac{5π}{6}}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{6}-\sqrt{2}$．

点评 本题考查正弦定理在解三角形中的应用，内角和定理，注意边角关系，考查化简、计算能力．