Question

19．（文科做）已知△ABC的三边长AC=3，BC=4，AB=5，P为AB边的中点，则$\overrightarrow{CP}$•（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$）=$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 先将$\overrightarrow{CP}$•（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$）转化为$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CA}$，再利用三角形的各边长、余弦定理求出$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CA}$的夹角的余弦值，继而根据平面向量数量积的定义计算得出答案．

解答 解：∵△ABC的三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴△ABC是以AB边为斜边的直角三角形，
∵P为AB边的中点，
∴CP=$\frac{1}{2}$AB=AP=$\frac{5}{2}$，
∵$\overrightarrow{CP}$•（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$）=$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CA}$，
∴cos∠PCA=$\frac{{PC}^{2}+A{C}^{2}-A{P}^{2}}{2•PC•AC}$=$\frac{\frac{25}{4}+9-\frac{25}{4}}{2×3×\frac{5}{2}}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\overrightarrow{CP}$•（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$）=$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CA}$=$|\overrightarrow{CP|}•|\overrightarrow{CA}|•cos∠PCA$=$\frac{5}{2}×3×\frac{3}{5}$=$\frac{9}{2}$
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了向量的运算，主要是平面向量数量积的运算，考查了计算能力，属于中档题．