Question

14．已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（-1，0）．
（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（2）求点P到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）把直线方程变形得，2x+y+m（y+2）=0，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=0}\\{y+2=0}\end{array}\right.$，求得方程组的解即为直线l恒过的定点．
（2）设点P在直线l上的射影为点M，由题意可得|PM|≤|PQ|，再由两点间的距离公式求得点P到直线l的距离的最大值

解答 （1）证明：由2x+（1+m）y+2m=0，得2x+y+m（y+2）=0，
∴直线l恒过直线2x+y=0与直线y+2=0的交点Q，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=0}\\{y+2=0}\end{array}\right.$，得Q（1，-2），
∴直线l恒过定点，且定点为Q（1，-2）．
（2）解：设点P在直线l上的射影为点M，则|PM|≤|PQ|，
当且仅当直线l与PQ垂直时，等号成立，
∴点P到直线l的距离的最大值即为线段PQ的长度，等于 $\sqrt{{（-1-1）}^{2}{+2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直线系方程问题，考查了点到直线的距离公式，正确理解题意是关键，是中档题．