Question

5．设函数f（x）=丨2x+l丨+丨2x-a丨+a，x∈R．
（1）当a=3时，求不等式f（x）＞7的解集；
（2）对任意x∈R恒有f（x）＞3，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=3时，把不等式转化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得丨2x+l丨+丨2x-a丨+a＞3的解集为R，由绝对值三角不等式可得丨2x+l丨+丨2x-a丨+a≥丨2x+l-2x+a丨+a=|a+1|+a，故有|a+1|+a＞3，从而求得a的范围．

解答 解：（1）当a=3时，函数f（x）=丨2x+l丨+丨2x-3丨+3，
由f（x）＞7，可得 $\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1-2x+3+3＞7}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\\{2x+1-2x+3+3＞7}\end{array}\right.$②，
或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{3}{2}}\\{2x+1+2x-3+3＞7}\end{array}\right.$③．
解①求得x＜-$\frac{1}{2}$，解②求得x∈∅，解③求得x＞$\frac{3}{2}$，
∴不等式f（x）＞7的解集{x|x＜-$\frac{1}{2}$或x＞$\frac{3}{2}$}．
（2）若关于x的不等式f（x）＞3的解集是R，
即丨2x+l丨+丨2x-a丨+a＞3的解集为R．
而丨2x+l丨+丨2x-a丨+a≥丨2x+l-2x+a丨+a=|a+1|+a，
故有|a+1|+a＞3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1≥0}\\{2a+1＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+1＜0}\\{-a-1+a＞3}\end{array}\right.$
即a＞1，
故a的范围为（1，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，体现了等价转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．