Question

17．已知函数f（x）=|x-2|，g（x）=m|x|-2，（m∈R）．
（1）解关于x的不等式f（x）＞x+3；
（2）若对于任意x∈R，有f（x）-g（x）≥0，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）解关于x的不等式f（x）＞x+3即不等式|x-2|＞x+3，分类讨论，去掉绝对值符号，即可得出结论；
（2）若对于任意x∈R，有f（x）-g（x）≥0，只需要f（2）-g（2）≥0，即可求实数m的最大值．

解答 解：（1）不等式f（x）＞x+3，即不等式|x-2|＞x+3，
x≤2时，2-x＞x+3，∴x＜-$\frac{1}{2}$，此时x＜-$\frac{1}{2}$；
x＞2时，x-2＞x+3，∴x∈∅，
∴不等式的解集为{x|x＜-$\frac{1}{2}$}；
（2）∵对于任意x∈R，有f（x）-g（x）≥0，
m≤0时恒成立；
m＞0时，如图所示，f（2）-g（2）≥0，
∴0-2m+2≥0，
∴m≤1，
∴实数m的最大值为1．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，正确分类讨论是关键．