Question

16．正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*），设c_n=（-1）ⁿ$\frac{{2{a_n}+1}}{{2{S_n}}}$，则数列{c_n}的前2017项的和为-$\frac{2019}{2018}$．

Answer 1

分析 利用a_n=S_n-S_n-1判断{a_n}为等差数列，得出{a_n}的通项公式，从而得出c_n的通项公式，使用列项法求和．

解答 解：当n=1时，2a₁=a₁²+a₁，∴a₁=1或a₁=0（舍）．
当n≥2时，2a_n=2S_n-2S_n-1=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1，
∴a_n+a_n-1=a${\;}_{{n}^{\;}}$²-a_n-1²=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）．
∵a_n+a_n-1≠0，∴a_n-a_n-1=1，
∴{a_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列．
∴a_n=n，2S_n=n²+n．
∴c_n=（-1）ⁿ$•\frac{2n+1}{{n}^{2}+n}$=（-1）ⁿ（$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$）．
设c_n的前n项和为T_n，
则T₂₀₁₇=-1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{4}$+…-$\frac{1}{2017}$-$\frac{1}{2018}$=-1-$\frac{1}{2018}$=-$\frac{2019}{2018}$．
故答案为：$-\frac{2019}{2018}$．

点评 本题考查了等差关系的判定，等差数列的通项公式及裂项求和，属于中档题．