Question

1．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{6}$		$\frac{π}{3}$		$\frac{5π}{6}$
Asin（ωx+φ）	0	3	0	-3	0

（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向右平行移动 $\frac{π}{3}$个单位长度，得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的图象离原点最近的对称中心．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的最大值得出A=3，把第1，3列数据代入ωx+φ即可得出ω，φ，从而得出f（x）的解析式；
（2）根据函数平移规律得出g（x）的解析式，根据正弦函数的对称中心坐标得出g（x）的对称中心．

解答 解：（1）由表格可知f（x）的最大值为3，∴A=3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{6}ω+φ=0}\\{\frac{π}{3}ω+φ=π}\end{array}\right.$可得ω=2，φ=$\frac{π}{3}$．
∴f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
数据补全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
Asin（ωx+φ）	0	3	0	-3	0

（2）g（x）=f（x-$\frac{π}{3}$）=3sin[2（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，解得x=$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z．
令k=0得x=$\frac{π}{6}$．
∴y=g（x）的图象离原点最近的对称中心为（$\frac{π}{6}$，0）．

点评 本题考查了三角函数解析式的确定，正弦函数的性质，属于中档题．