Question

13．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，它的准线与对称轴的交点为H，过点H的直线与抛物线C交于A、B两点，过点A作直线AF与抛物线C交于另一点B₁，过点A、B、B₁的圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，则下列各式成立的是（　　）

• A． a²=r²-$\frac{1}{4}$
• B． a=r
• C． a²=r²+$\frac{1}{4}$
• D． a²=r²+1

Answer 1

分析 由题意，取A（4，4），直线AB：y=$\frac{4}{5}$（x+1），求出B的坐标，进一步求出B₁的坐标，即可得出结论．

解答 解：由题意，取A（4，4），直线AB：y=$\frac{4}{5}$（x+1），
代入y²=4x，可得4x²-17x+4=0，∴可得B（$\frac{1}{4}$，1），
直线AF的方程为y-0=$\frac{4}{3}$（x-1）代入y²=4x，可得4x²-17x+4=0，∴可得B₁（$\frac{1}{4}$，-1），
AB的中点为（$\frac{17}{8}$，$\frac{5}{2}$），线段AB的垂直平分线的方程为y-$\frac{5}{2}$=-$\frac{5}{4}$（x-$\frac{17}{8}$），
令y=0，可得x=$\frac{33}{8}$，∴a=$\frac{33}{8}$，
r²=（$\frac{33}{8}$-4）²+（0-4）²=$\frac{1025}{64}$，∴r²+1=$\frac{1089}{64}$=a²，
故选：D．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．