Question

3．根据下列条件，求圆方程：
（1）过两点A（1，2），B（5，6），且圆心在直线2x-y-5=0上的圆的标准方程；
（2）求与直线x+3y-8=0相切于点P（2，2），且截y轴所得弦长为2的圆的标准方程．

Answer 1

分析 （1）设圆心坐标为C（a，2a-5），由CA=CB，求得a=4，可得圆心C（4，3），半径CA，从而求得要求的圆的标准方程．
（2）由题意可得$\frac{b-2}{a-2}$•（-$\frac{1}{3}$）=-1，1+a²=r²=（a-1）²+（b-2）²，由此求得ab的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的标准方程．

解答 解：（1）设圆心坐标为C（a，2a-5），由CA=CB，可得（a-1）²+（2a-5-2）²=（a-5）²+（2a-5-6）²，
求得a=4，可得圆心C（4，3），故半径为CA=$\sqrt{{（4-1）}^{2}{+（3-2）}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴要求的圆的标准方程为（x-4）²+（y-3）²=10．
（2）设要求的圆的圆心为M（a，b），则半径为MP=$\sqrt{{（a-1）}^{2}{+（b-2）}^{2}}$，且$\frac{b-2}{a-2}$•（-$\frac{1}{3}$）=-1 ①，即 b=3a-4．
根据圆截y轴所得弦长为2，可得1+a²=r²=（a-1）²+（b-2）²，即 a=$\frac{{（b-1）}^{2}}{2}$②，
由①②求得a=3，b=5，r²=10，或 a=$\frac{13}{9}$，b=$\frac{1}{3}$，r²=$\frac{250}{81}$，
故要求的圆的方程为 （x-3）²+（y-5）²=10，或${（x-\frac{13}{9}）}^{2}$+${（y-\frac{1}{3}）}^{2}$=$\frac{250}{81}$．

点评 本题主要考查李用待定系数法求圆的标准方程，直线和圆的相交、相切的性质，属于中档题．