Question

如下图所示，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA₁＝4，点D是AB的中点．

(1)求证：AC⊥BC₁；
(2)求证：AC₁∥平面CDB₁；
(3)求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

（1）先证明AC⊥平面BCC₁B₁，再根据性质即可证明
（2）先证明DE∥AC₁，再根据线面平行的判定定理证明
（3）

试题分析：(1)在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC⊥BC.又∵C₁C⊥AC.∴AC⊥平面BCC₁B₁.
∵BC₁?平面BCC₁B，∴AC⊥BC₁.
(2)设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，又四边形BCC₁B₁为正方形．
∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，∴DE∥AC₁.
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁.
(3)∵DE∥AC₁，∴∠CED为AC₁与B₁C所成的角．
在△CED中，ED＝AC₁＝，CD＝AB＝，CE＝CB₁＝2，
∴cos∠CED＝＝.
∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为.
点评：解决此类问题，要准确应用相应的判定定理和性质定理并注意相互转化，求解两条异面直线的夹角问题时，要注意夹角的取值范围.