Question

（2010•徐汇区二模）设数列{a_n}（n=1，2，…）是等差数列，且公差为d，若数列{a_n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．
（1）若a₁=4，d=2，求证：该数列是“封闭数列”；
（2）试判断数列a_n=2n-7（n∈N^*）是否是“封闭数列”，为什么？
（3）设S_n是数列{a_n}的前n项和，若公差d=1，a₁＞0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使

lim

n→∞

（

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

）=

11

9

；若存在，求{a_n}的通项公式，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）a_n=4+（n-1）•2=2n+2，对任意的m，n∈N^*，有a_m+a_n=（2m+2）+（2n+2）=2（m+n+1）+2，由此能够证明该数列是“封闭数列”．
（2）由a₁=-5，a₂=-3，知a₁+a₂=-8，令a_n=a₁+a₂=-8，所以2n-7=-8，n=-

1

2

∉N+，由此能够证明数列a_n=2n-7（n∈N⁺）不是封闭数列．
（3）由{a_n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N⁺，必存在p∈N⁺使a₁+（n-1）+a₁+（m-1）=a₁+（p-1）成立，
于是有a₁=p-m-n+1为整数，由此能够推导出a_n=n+1（n∈N⁺），该数列是“封闭数列”．

解答：解：（1）证明：a_n=4+（n-1）•2=2n+2，
对任意的m，n∈N^*，有
a_m+a_n=（2m+2）+（2n+2）=2（m+n+1）+2，
∵m+n+1∈N⁺，
于是，令p=m+n+1，
则有a_p=2p+2∈{a_n}．
∴该数列是“封闭数列”．
（2）∵a₁=-5，a₂=-3，
∴a₁+a₂=-8，
令a_n=a₁+a₂=-8，
∴2n-7=-8，n=-

1

2

∉N+，
所以数列a_n=2n-7（n∈N⁺）不是封闭数列．
（3）解：由{a_n}是“封闭数列”，
得：对任意m，n∈N⁺，
必存在p∈N⁺使
a₁+（n-1）+a₁+（m-1）=a₁+（p-1）成立，
于是有a₁=p-m-n+1为整数，
又∵a₁＞0，
∴a₁是正整数．
若a₁=1，则Sn=

n(n+1)

2

，
所以

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)=2＞

11

9

，
若a₁=2，则Sn=

n(n+3)

2

，
所以

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)=

11

9

，
若a₁≥3，则Sn=

n(2a1+n-1)

2

＞

n(n+3)

2

，
于是

1

Sn

＜

2

n(n+3)

，
所以

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)＜

11

9

，
综上所述，a₁=2，
∴a_n=n+1（n∈N⁺），
显然，该数列是“封闭数列”．

点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．