Question

（本小题满分12分）如图，在长方体中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱，P是侧棱上的一点，.

（Ⅰ）试问直线与AP能否垂直？并说明理由；

（Ⅱ）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角为60º；

（Ⅲ）若m=1，求平面PA₁D₁与平面PAB所成角的大小.

Answer 1

【解析】（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD₁分别为

x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

则D(0,0,0)， A(1,0,0)， B(1,1,0)， C(0,1,0), 

D₁ (0,0,2)，A₁ (1,0,2)，B₁ (1,1,2)，C₁ (0,1,2)， P(0,1,m)，

所以，

.………4分

（Ⅱ）∵

又∵，

∴的一个法向量.

设直线与平面所成的角为，

则=，解得.

故当时，直线AP与平面所成角为60º.………………8分

（Ⅲ）∵m=1，∴P(0,1,1)，∴.

设平面PA₁D₁的法向量为，可求得，

设平面PAB的法向量为，可求得.

∴，

故平面PA₁D₁与平面PAB所成角为60⁰. ………………12分