Question

12．如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为AB，PC的中点，AB=$\sqrt{2}$AD．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：DE⊥PC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD的中点H，连接AH，FH，运用中位线定理和平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定定理即可得证；
（Ⅱ）设AD=$\sqrt{2}$，可得AB=2，AE=1，在直角三角形ABC和ADE中，证得tan∠BAC•tan∠AED=1，可得∠BAC+∠AED=90°，则AC⊥DE，再由线面垂直的判定定理和性质定理，即可得证．

解答 证明：（Ⅰ）取PD的中点H，连接AH，FH，
由HF为△PCD的中位线，
可得HF∥CD，HF=$\frac{1}{2}$CD，
AE∥CD，AE=$\frac{1}{2}$CD，
即有AE∥HF，AE=FH，
可得四边形AEHF为平行四边形，
即有EF∥AH，EF?平面PAD，AH?平面PAD，
则EF∥平面PAD；
（Ⅱ）设AD=$\sqrt{2}$，可得AB=2，AE=1，
在直角三角形ABC中，tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在直角三角形ADE中，tan∠AED=$\frac{AD}{AE}$=$\sqrt{2}$，
由tan∠BAC•tan∠AED=1，
可得∠BAC+∠AED=90°，
则AC⊥DE，
由PA⊥底面ABCD，
可得PA⊥DE，
PA∩AC=A，
则DE⊥平面PAC，
由PC?平面PAC，
可得DE⊥PC．

点评 本题考查线面平行的判定，注意运用平行四边形的判定和性质，考查线线垂直的判定，注意运用三角函数中诱导公式，以及线面垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．