Question

点P是双曲线

x2

4

-y2=1右支上的点，直线l交双曲线的两条渐近线于A，B两点，且P为线段AB的中点
（1）若P(2

2

，1)，求直线l的方程；
（2）若直线l的斜率为2，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）设直线l的方程代入

x2

4

-y2=0，利用P为线段AB的中点，即可求直线l的方程；
（2）设l：y=2x+m，联立两条渐近线得到交点坐标，可得中点坐标代入双曲线方程，求得m的值，即可求l的方程．

解答：解：（1）设直线l的方程为y=k（x-2

2

）+1，代入

x2

4

-y2=0，
可得（1-4k²）x²-8k(1-2

2

k)x+4(1-2

2

k)2=0
∵P为线段AB的中点
∴4

2

=

8k(1-2 2 k)

1-4k2

，∴k=

2

2

∴直线l的方程为y=

2

2

x-1；
（2）设l：y=2x+m，联立两条渐近线得到交点坐标为A(-

2m

3

，-

m

3

)，B(-

2m

5

，

m

5

)，
从而得中点P(-

8m

15

，-

m

15

)，把P点坐标代入双曲线方程，解得m²=15，
因为P在右支，m＜0，所以m=-

15

，所以y=2x-

15

．

点评：本题考查双曲线的渐近线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．