Question

已知点P是双曲线

x2

4

-

y2

5

=1右支上一点，F是该双曲线的右焦点，点M为线段PF的中点，若|OM|=3，则点P到该双曲线右准线的距离为（　　）

• A．

  4

  3

• B．

  3

  4

• C．

  3

  2

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：根据a²-b²=c²求出右焦点F的坐标，根据双曲线的准线公式x=

a2

c

求出右准线方程，然后设P的坐标（x，y），代入到双曲线方程，由M为PF的中点，根据中点坐标公式求出M的坐标，利用两点间的距离公式求出 |

OM

|，最后联立方程得到x，根据两点间的距离公式求出P到准线方程的距离即可．

解答：解：由双曲线

x2

4

-

y2

5

=1得a=2，b=

5

，
根据勾股定理得c=3，则右准线为 x=

4

3

，右焦点F（3，0），
设P（x，y），P在双曲线上，
∴

x2

4

-

y2

5

=1①
由点M为PF中点，
根据中点坐标公式求得M（

x+3

2

，

y

2

），
且|

OM

|=3
∴

(x+3)2

4

+

y2

4

=9②
由①②解得：x=

8

3

．
右准线为 x=

4

3

，则点P到双曲线右准线的距离是

8

3

-

4

3

=

4

3

．
故选A．

点评：本题是一道综合题，考查学生掌握双曲线的一些简单性质，会利用两点间的距离公式及中点坐标公式、点到直线的距离公式化简求值，同时也考查学生掌握向量的运用法则及向量模的求法，做题时要求学生知识面要宽，综合运用数学知识解决问题．