Question

已知数列{a_n}（n∈N^•）的前n项和为S_n，数列{

Sn

n

}是首项为0，公差为

1

2

的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

4

15

•（-2） an（n∈N^•），对任意的正整数k，将集合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d_x，求数列{d_k}的通项公式．
（3）对（2）中的{d_k}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

Sn

n

=0+(n-1)•

1

2

=

n

2

(n-1)求出a_n=n-1．
（2）由（1）可知，bn=

4

15

•(-2)n-1，求出b_2k，b_2k-1，b_2k+1由已知列出方程求出公差{d_k}的通项公式．
（3）由（2）得数列{d_k}为等比数列，由等比数列的前n项和公式得Tn=

4

15

(4n-1)

解答： 解：（1）由已知得

Sn

n

=0+(n-1)•

1

2

=

n

2

(n-1)，
∴a_n=n-1
（2）由（1）可知，
bn=

4

15

•(-2)n-1，
∴b2k-1=

4

15

(-2)2k-2=

4

15

•22k-2，b2k=

4

15

(-2)2k-1
b2k=-

4

15

•22k-1
，b2k+1=

4

15

(-2)2k=

4

15

•22k
由2b_2k-1=b_k+b_k+1及b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1
得b_2k，b_2k-1，b_2k+1依次成递增的等差数列，
∴dk=b2k+1-b2k-1=

4k

5

，
（3）由（2）得

dk+1

dk

=

4k+1 5

4k 5

=4，
∴数列{d_k}为等比数列，
∴Tn=

4 5 - 4n 5

1-4

=

4

15

(4n-1)

点评：本题考查数列通项公式的求法、数列的前n项和公式的求法；等差、等比数列是两个基本数列．