Question

已知二次函数y=f（x）的二次项系数为负，对任意x∈R恒有f（3-x）=f（3+x），试问当f（2+2x-x²）与f（2-x-2x²）满足什么关系时才有-3＜x＜0？

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由二次函数f（x）对任意实数x都有f（3-x）=f（3+x）知其对称轴，结合它的二次项系数为负可得其单调性，所以只需探讨（2+2x-2x^2）和（2-x-2x²）的大小关系，从而得到x的范围．

解答： 解；由题意得：对称轴x=3，又二次项系数为负，
∴函数y=f（x）在（-∞，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，
∵2+2x-x²=3-（x-1）²≤3，2-x-2x²=

17

8

-2(x-

1

4

)2≤

17

8

，
由2+2x-x²-（2-x-2x²）=x（x+3）＜0得：-3＜x＜0，
∴当f（2+2x-x²）＜f（2-x-2x²）时有-3＜x＜0．

点评：本题是个中档题，主要考查二次函数的性质，以及比较大小和解不等式的方法．