Question

若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的最小值为-2，且它的图象经过点（0，

3

）和（

5π

6

，0）．
（1）写出一个满足条件的函数解析式f（x）；
（2）若函数f（x）在（0，

π

8

]上单调递增，求此函数所有可能的解析式；
（3）若函数f（x）在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，求ω的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）依题意，易求A=2，φ=

π

3

；又它的图象经过点（

5π

6

，0），可得

5π

6

ω+

π

3

=kπ，k∈Z．分点（

5π

6

，0）为半周期点与整周期点讨论，即可求得满足条件的函数解析式；
（2）f（x）=2sin（ωx+

π

3

），最大的值点ωx+

π

3

=

π

2

⇒x=

π

6ω

，令

π

6ω

≥

π

8

，可解得ω的取值范围，从而可得函数所有可能的解析式；
（3）利用正弦函数的单调递减性质，可求得其单调递减区间[

2kπ

ω

+

π

6ω

，

2kπ

ω

+

7π

6ω

]，（k∈Z），由

7π

6ω

≤2与

2π

ω

+

π

6ω

＞2可得ω的取值范围，从而可得ω的值．

解答： 解：（1）依题意知，A=2，f（0）=2sinφ=

3

，即sinφ=

3

2

，
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

3

；
∴f（x）=2sin（ωx+

π

3

）；
又它的图象经过点（

5π

6

，0），
∴

5π

6

ω+

π

3

=kπ，k∈Z．
当点（

5π

6

，0）为半周期点时，

5π

6

ω+

π

3

=π⇒ω=

5

4

；
当点（

5π

6

，0）为整周期点时，

5π

6

ω+

π

3

=2π⇒ω=2．
∴满足条件的函数解析式为f（x）=2sin（

5

4

x+

π

3

）或f（x）=2sin（2x+

π

3

）．
（2）设函数f（x）在（0，

π

8

]上单调递增，
∵f（x）=2sin（ωx+

π

3

），
最大的值点ωx+

π

3

=

π

2

⇒x=

π

6ω

，
令

π

6ω

≥

π

8

，解得0＜ω≤

4

3

；
∴函数f（x）在（0，

π

8

]上单调递增，ω取值范围为ω∈（0，

4

3

]，
∵ω=

4

5

＜

4

3

满足题意，ω=2＞

4

3

不满足题意，
综上：满足题意，且在（0，

π

8

]上单调递增的函数解析式只有f（x）=2sin（

4

5

x+

π

3

）；
（3）∵f（x）=2sin（ωx+

π

3

），
∴单调递减区间可由下面的不等式获得：
2kπ+

π

2

≤ωx+

π

3

≤2kπ+

3π

2

?

2kπ

ω

+

π

6ω

≤x≤

2kπ

ω

+

7π

6ω

，（k∈Z）；
令

7π

6ω

≤2，则ω≥

7π

12

；
由

2π

ω

+

π

6ω

＞2得，ω＜

13π

12

，
∴在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，ω∈[

7π

12

，

13π

12

）
函数f（x）满足题意，且在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，ω=2．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查正弦函数的单调性与最值，考查综合分析与应用能力，属于难题．