Question

甲、乙两校参加科普知识大赛，每校派出2人参赛，每人回答一个问题，答对者为本校赢得2分，答错的零分，假设甲校派出的2人每人答对的概率都为

3

4

，乙校派出的2人答对的概率分别为

1

2

，

2

3

，且各人回答正确与否相互没有影响，用X表示甲校的总得分．
（1）求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）事件A：甲、乙两校总分和为4，事件B：甲校总得分不小于乙校总得分，求P（AB）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）确定随机变量X的可能取值，求出相应的概率，即可求得随机变量X的概率分布列和数学期望；
（2）分别求得事件A，B的概率，利用互斥事件的概率公式，可得结论．

解答： 解：（1）X的取值为0，2，4，则
P（X=0）=

C

0 2

•(

1

4

)2=

1

16

，P（X=2）=

C

1 2

•

3

4

•

1

4

=

3

8

，P（X=4）=

C

2 2

•(

3

4

)2=

9

16

，
X的分布列

X	0	2	4
P	1 16	3 8	9 16

EX=0×

1

16

+2×

3

8

+4×

9

16

=3；
（2）事件AB为如下两个互斥事件的和事件：
事件C：甲校总得分为4分，乙校总得分为0分；事件D：甲校总得分为2分，乙校总得分为2分，
P（C）=

9

16

•

1

2

•

1

3

=

3

32

，P（D）=

3

8

•(

1

2

•

1

3

+

1

2

•

2

3

)=

3

16

，
∴P（AB）=P（C+D）=

3

32

+

3

16

=

9

32

．

点评：本题考查互斥事件概率公式的运用，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．