Question

已知圆C：（x+3）²+y²=4，P为圆C上任一点，A（3，0）为定点，AP的中点为M．
求：
（1）动点M的轨迹方程；
（2）动点M的轨迹与圆C的公切线方程．

Answer 1

分析：（1）由圆C：（x+3）²+y²=4，P为圆C上任一点，知P（-3+2cosθ，2sixθ），设AP的中点M（x，y），由A（3，0），利用中点坐标公式能求出动点M的轨迹方程．
（2）动点M的轨迹是以M（0，0）为圆心，以1为半径的圆，设BD是圆M与圆C的公切线，D和B是切点，则BC=2，MD=1，MC=3，设BD交x轴于E，则E（3，0），故tan∠BEC=

2

4

，由此能求出动点M的轨迹与圆C的公切线方程．

解答：解：（1）∵圆C：（x+3）²+y²=4，P为圆C上任一点，
∴P（-3+2cosθ，2sixθ），
设AP的中点M（x，y），
∵A（3，0），∴

x= -3+2cosθ+3 2 =cosθ y= 2sinθ 2 =sinθ

，（0≤θ＜2π）
∴x²+y²=1．
（2）如图，动点M的轨迹是以M（0，0）为圆心，以1为半径的圆，
设BD是圆M与圆C的公切线，D和B是切点，则BC=2，MD=1，MC=3，
设BD交x轴于E，则E（3，0），
∴tan∠BEC=

2

62-22

=

2

4 2

=

2

4

，
∴动点M的轨迹与圆C的公切线方程为：y=±

2

4

（x-3）．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查两个圆的公切线方程的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意圆的参数方程和中点坐标公式的灵活运用．