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设函数f(x)的定义域为D,若存在非零实数h使得对于任意x∈M(M⊆D),有x+h⊆D,且f(x+h)≥f(x),则称f(x)为M上的“h阶高调函数”.给出如下结论:
①若函数f(x)在R上单调递增,则存在非零实数h使f(x)为R上的“h阶高调函数”;
②若函数f(x)为R上的“h阶高调函数”,则f(x)在R上单调递增;
③若函数f(x)=x2为区间[-1,+∞)上的“h阶高诬蔑财函数”,则h≥2;
④若函数f(x)在R上的奇函数,且x≥0时,f(x)=|x-1|-1,则f(x)只能是R上的“4阶高调函数”.
其中正确结论的序号为


  1. A.
    ①③
  2. B.
    ①④
  3. C.
    ②③
  4. D.
    ②④
A
分析:因为是判断命题的真假,所以只要能从正面推出其成立,即可说其为真命题;只要能举出反例,即可说明其为假命题,用这中方法对四个命题一一验证即可求出结果.
解答:对于①,因为函数f(x)在R上单调递增,即自变量越大函数值越大,故满足新定义.即存在非零实数h使f(x)为R上的“h阶高调函数”;①为真命题;
对于②,举反例如图,函数f(x)的定义域为[-1,3],M=[-1,1],满足新定义.即存在非零实数2使f(x)为R上的“h阶高调函数”,f(x)在R上不单调递增;②为假命题;
对于③,因为对于任意x∈M(M⊆D),有x+h⊆D,且f(x+h)≥f(x),即f(x+h)≥f(1)?x+h≥1?h≥1-x?h≥2,③为真命题;
对于④,其图象如图,由图得,不存在实数h让其满足定义,即④为假命题.
故真命题只有 ①③.
故选 A.
点评:本题的关键在于对定义的理解,只要定义理解透彻,问题就解决了,这也是这一类型题目解决的关键.
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3
2
)与b=f(
15
2
)的大小关系为
a>b
a>b

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1
4
]
时,f(x)≥2x恒成立.则f(
3
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)+f(
5
9
)
=
1
1

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