(1)由a
x-b
x>0,得
x>1,因为a>1>b>0,所以
>1,所以x>0,即函数f(x)的定义域为(0,+∞).
(2)设x
1>x
2>0,因为a>1>b>0,所以ax
1>ax
2,bx
1<bx
2,则-bx
1>-bx
2,所以ax
1-bx
1>ax
2-bx
2>0,于是lg(ax
1-bx
1)>lg(ax
2-bx
2),即f(x
1)>f(x
2),因此函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.假设函数y=f(x)的图象上存在不同的两点A(x
1,y
1)、B(x
2,y
2),使得直线AB平行于x轴,即x
1≠x
2,y
1=y
2,这与f(x)是增函数矛盾.故函数y=f(x)的图象上不存在不同的两点,使过此两点的直线平行于x轴.
(3)由(2)知,f(x)在区间(1,+∞)上是增函数,所以当x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1),故只需f(1)≥0,即lg(a-b)≥0,即a-b≥1,所以当a≥b+1时,f(x)在区间(1,+∞)上恒取正值.