Question

设函数f(x)＝a^x＋b^x－c^x，其中c>a>0，c>b>0.
(1)记集合M＝{(a，b，c)|a、b、c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________．
(2)若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(填序号)
①?x∈(－∞，1)，f(x)>0；
②?x∈R，使a^x、b^x、c^x不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则?x∈(1，2)，使f(x)＝0.

Answer 1

(1){x|0<x≤1} (2)①②③

(1)因为c>a>0，c>b>0，a＝b且a、b、c不能构成一个三角形的三条边长，
所以0<2a≤c，所以≥2.
令f(x)＝0，得2a^x＝c^x，即＝2，即x＝2，＝log₂≥1，所以0<x≤1.
(2)由a、b、c是△ABC的三条边长，知a＋b>c，
因为c>a>0，c>b>0，所以0<<1，0<<1，
当x∈(－∞，1)时，f(x)＝a^x＋b^x－c^x＝c^x>c^x＝c^x·>0，①正确；
令a＝2，b＝3，c＝4，则a、b、c可以构成三角形，而a²＝4，b²＝9，c²＝16不能构成三角形，②正确；
由c>a，c>b，且△ABC为钝角三角形，则a²＋b²－c²<0.因为f(1)＝a＋b－c>0，f(2)＝a²＋b²－c²<0，所以f(x)在(1，2)上存在零点，③正确