Question

19．数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）当{a_n}是等比数列，a₁=1，且$\frac{1}{a_1}$，$\frac{1}{a_3}$，$\frac{1}{a_4}$-1是等差数列时，求a_n；
（2）若{a_n}是等差数列，且S₁+a₂=7，S₂+a₃=15，证明：对于任意n∈N*，都有：$\frac{1}{{{S_1}+1}}+\frac{1}{{{S_2}+2}}+\frac{1}{{{S_3}+3}}+…+\frac{1}{{{S_n}+n}}＜\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）$\frac{1}{a_1}$，$\frac{1}{a_3}$，$\frac{1}{a_4}-1$是等差数列，得$\frac{2}{a_3}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_4}-1$，又{a_n}是等比数列，a₁=1，设公比为q，则有$\frac{2}{q^2}=1+\frac{1}{q^3}-1$，解出即可得出．
（2）设{a_n}的公差距为d，由S₁+a₂=7，S₂+a₃=15得$\left\{{\begin{array}{l}{2{a_1}+d=7}\\{3{a_1}+3d=15}\end{array}}\right.$，解出可得S_n，利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）$\frac{1}{a_1}$，$\frac{1}{a_3}$，$\frac{1}{a_4}-1$是等差数列，得$\frac{2}{a_3}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_4}-1$
又{a_n}是等比数列，a₁=1，设公比为q，则有$\frac{2}{q^2}=1+\frac{1}{q^3}-1$，即$\frac{2}{q^2}=\frac{1}{q^3}$
而q≠0，解得44$q=\frac{1}{2}$，…（4分）
故4${a_n}=1×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}={（\frac{1}{2}）^{n-1}}$…（6分）
（2）设{a_n}的公差距为d，由S₁+a₂=7，S₂+a₃=15，得$\left\{{\begin{array}{l}{2{a_1}+d=7}\\{3{a_1}+3d=15}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=2}\\{d=3}\end{array}}\right.$． …（8分）
则${S_n}=n{a_1}+\frac{n（n-1）}{2}d=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$．
于是$\frac{1}{{{S_n}+n}}=\frac{1}{{\frac{3}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n}}=\frac{2}{3}×\frac{1}{n（n+1）}=\frac{2}{3}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，…（10分）
故$\frac{1}{{{S_1}+1}}+\frac{1}{{{S_2}+2}}+\frac{1}{{{S_3}+3}}+…+\frac{1}{{{S_n}+n}}=\frac{2}{3}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{2}{3}（1-\frac{1}{n+1}）＜\frac{2}{3}$．…（12分）

点评 本题考查了“裂项求和法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．