Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，记an与an+1的等差中项为kn ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若 ，求数列{bn}的前n项和Tn；
（3）设集合 ，等差数列{cn}的任意一项cn∈A∩B，其中c1是A∩B中的最小数，且110＜c10＜115，求{cn}的通项公式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，∴ ，

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1．

当n=1时，a1=S1=3满足上式，

所以数列{an}的通项公式为an=2n+1．

（2）

解：∵kn为an与an+1的等差中项

∴

∴ ．

∴ ①

由①×4，得 ②

①﹣②得： =

∴

（3）

解：∵

∴A∩B=B

∵cn∈A∩B，c1是A∩B中的最小数，∴c1=6．

∵{cn}是公差为4的倍数的等差数列，∴ ．

又∵110＜c10＜115，∴ ，解得m=27．

所以c10=114，

设等差数列的公差为d，则 ，

∴cn=6+（n+1）×12=12n﹣6，

∴cn=12n﹣6．

【解析】（1）根据点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，可得 ，再写一式，两式相减，即可求得数列{an}的通项公式；（2）先确定数列的通项，再利用错位相减法求数列的和；（3）先确定A∩B=B，再确定{cn}是公差为4的倍数的等差数列，利用110＜c10＜115，可得c10=114，由此可得{cn}的通项公式．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对等差数列的性质的理解，了解在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列．