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    如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，∠PDA为θ,能否确定θ,使直线MN是直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由.

    解：以点A为原点建立空间直角坐标系A—xyz，如图，设|AD|=2a，|AB|=2b,∠PDA=θ,则A（0，0，0）、B（0，2b,0）、C(2a、2b、0)、D(2a,0,0)、P(0,0,2atanθ)、M(0,b,0)、N(a,b,atanθ).?

    ∴=(0,2b,0),=(2a,2b,-2atanθ),=(a,0,atanθ).?

    ∵·=（0，2b,0）·（a,0,atanθ）=0,?

    ∴⊥.即AB⊥MN.?

    若NM⊥PC，?

    即=（a,0,atanθ）（2a,2b,-2atanθ）＝2a2-2a2tan2θ=0.

    ∴tan2θ=1,而θ是锐角.

    ∴tanθ=1,θ=45°.?

    即当θ＝４5°时,直线MN是直线AB与PC的公垂线.

    点评:对于开放型问题,解题的策略一般为先假设存在,然后转化为“封闭型”问题求解判断，这是一种最常用也最基本的方法.

    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源：名师指点学高中课程 数学 高二（下） 题型：044

    如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线AC将△ABC折起，使B点在平面ADC内的射影恰好落在AD上，求：

    (1)异面直线AB与CD成的角；

    (2)异面直线AB与CD的距离；

    (3)二面角B－AC－D的大小．

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    科目：高中数学 来源：2014届安徽省高一下学期期中考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、

    PC的中点．

    （1）求证：EF∥平面PAD；

    （2）求证：EF⊥CD；

    （3）若ÐPDA＝45°求EF与平面ABCD所成的角的大小．

    【解析】本试题主要考查了线面平行和线线垂直的运用，以及线面角的求解的综合运用

    第一问中，利用连AC，设AC中点为O，连OF、OE在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点   ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO   ∴ EF∥平面PAD．

    第二问中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD  又    ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC∴ EO为EF在平面AC内的射影       ∴ CD⊥EF．

    第三问中，若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC    ∵ EOBC，FOPA

    ∴ FO＝EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

    证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点∴ FO∥PA …………①    在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点  ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD    

    ∵ EF Ì 平面EFO      ∴ EF∥平面PAD．

    （2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD∴ EO⊥CD  又        ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC ∴ EO为EF在平面AC内的射影     ∴ CD⊥EF．

    （3）若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC         ∵ EOBC，FOPA

    ∴ FO＝EO 又    ∵ FO⊥平面AC   ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

     

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年江苏省南京市高三第二次模拟考试数学卷 题型：解答题

    在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10，共计20分。请在答题卡指定区域作答。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

    A、选修4-1：几何证明选讲

       如图，已知梯形ABCD为圆内接四边形，AD//BC，过C作该圆的切线，交AD的延长线于E，求证：ΔABC∽ΔEDC。

    B、选修4-2：矩形与变换

    已知 为矩阵属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A2。

    C、选修4-4：坐标系与参数方程

       在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（α为参数），曲线D的参数方程为，（t为参数）。若曲线C、D有公共点，求实数m的取值范围。

    D、选修4-5：不等式选讲

       已知a，b都是正实数，且ab=2。求证：（1+2a）（1+b）≥9。

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知几何体ABC-DEF中，△ABC及△DEF都是边长为2的等边三角形，四边形ABEF为矩形，且CD=AF+2，CD//AF，O为AB中点.

    （1）求证：AB⊥平面DCO

    （2）若M为CD中点，AF=x，则当x取何值时，使AM与平面ABEF所成角为45°？

    试求相应的x值的.

    （3）求该几何体在(2)的条件下的体积.

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    科目：高中数学 来源：2011届江苏省南京市高三第二次模拟考试数学卷 题型：解答题

    在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10，共计20分。请在答题卡指定区域作答。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
    A、选修4-1：几何证明选讲
    如图，已知梯形ABCD为圆内接四边形，AD//BC，过C作该圆的切线，交AD的延长线于E，求证：ΔABC∽ΔEDC。

    B、选修4-2：矩形与变换
    已知为矩阵属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A2。
    C、选修4-4：坐标系与参数方程
    在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（α为参数），曲线D的参数方程为，（t为参数）。若曲线C、D有公共点，求实数m的取值范围。
    D、选修4-5：不等式选讲
    已知a，b都是正实数，且ab=2。求证：（1+2a）（1+b）≥9。

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