Question

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\frac{a+b}{a}$=$\frac{sinB}{sinB-sinA}$，且cos（A-B）+cosC=1-cos2C．
（1）试确定△ABC的形状；
（2）求$\frac{a+\sqrt{3}c}{b}$的范围．

Answer 1

分析 （1）利用和差化积公式和二倍角公式对cos2C+cosC=1-cos（A-B）整理求得sinAsinB=sin²C，利用正弦定理换成边的关系，同时利用正弦定理把（b+a）（sinB-sinA）=asinB角的正弦转化成边的问题，然后联立方程求得b²=a²+c²，推断出三角形为直角三角形．
（2）利用正弦定理化简所求式子，将C的度数代入，用A表示出B，整理后利用余弦函数的值域即可确定出范围．

解答 解：（1）由$\frac{a+b}{a}$=$\frac{sinB}{sinB-sinA}$，可得cos2C+cosC=1-cos（A-B），
得cosC+cos（A-B）=1-cos2C，cos（A-B）-cos（A+B）=2sin²C，
即sinAsinB=sin²C，根据正弦定理，ab=c²，①，
又由正弦定理及（b+a）（sinB-sinA）=asinB可知b²-a²=ab，②，由①②得b²=a²+c²，
所以△ABC是直角三角形，且B=90°；
（2）由正弦定理化简$\frac{a+\sqrt{3}c}{b}$=$\frac{sinA+\sqrt{3}sinC}{sinB}$=sinA+$\sqrt{3}$sinC=sinA+$\sqrt{3}$cosA=2sin（A+60°），
∵$\frac{1}{2}$＜sin（A+60°）≤1，A∈（0，$\frac{π}{2}$）即1＜2sin（A+60°）≤2，
则$\frac{a+\sqrt{3}c}{b}$的取值范围是（1，2]．

点评 本题主要考查了三角形的形状的判断，正弦定理的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．