【题目】一次数学测验中，全班
名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在
的学生数有14人.
（1）求总人数和分数在
的人数
；
（2）利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数，平均数各是多少？
【答案】（1）40，4
（2）众数为107.5，中位数分别是110，平均数为111
【解析】
（1）先求出分数在
内的学生的频率，根据频率、频数与总数之间的关系即可求得总人数，再计算分数在
内的学生的频率，乘以总数即可得解；（2）众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，根据中位数左边和右边的直方图面积相等可估计中位数，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
（1）分数在内的学生的频率为
，
所以该班总人数为
.
分数在内的学生的频率为：
，
分数在内的人数为
.
（2）由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，即为
.
设中位数为
，∵
，∴
.
∴众数和中位数分别是107.5，110.
平均数为
.
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【题目】（本小题满分16分）设数列
的前n项和为
，数列
满足:
,且数列的前
n项和为
.
(1) 求
的值；
(2) 求证：数列
是等比数列；
(3) 抽去数列中的第1项，第4项，第7项，……，第3n-2项，……余下的项顺序不变，组成一个新数列
，若的前n项和为
，求证：
.
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【题目】如图，在多面体
中，
平面
，四边形
为菱形，四边形为梯形，且
，
，
，
，M为线段
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
将多面体分成的两个部分的体积之比.
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【题目】已知动点
到点
的距离，等于它到直线
的距离．
(1)求点的轨迹
的方程；
（2）过点
任意作互相垂直的两条直线
，分别交曲线于点
和
．
设线段
，
的中点分别为
，求证：直线
恒过一个定点；
（3）在（2）的条件下，求
面积的最小值
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【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中，已知曲线
的参数方程为
（
， 
为参数）.以坐标原点
为极点， 
轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
.
（Ⅰ）当
时，求曲线
上的点到直线
的距离的最大值；
（Ⅱ）若曲线
上的所有点都在直线
的下方，求实数
的取值范围.
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【题目】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为
万元，每生产万件需要再投入
万元.设该公司一个月内生产该小型产品
万件并全部销售完，每万件的销售收入为
万元，且每万件国家给予补助
万元. （
为自然对数的底数，是一个常数.）
（Ⅰ）写出月利润
（万元）关于月产量（万件）的函数解析式；
（Ⅱ）当月生产量在
万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量值（万件）. （注：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本）.
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【题目】已知两个定点
，
， 动点
满足
，设动点的轨迹为曲线
，直线
：
.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若与曲线交于不同的
、
两点，且
(
为坐标原点)，求直线的斜率；
（3）若
，
是直线上的动点，过作曲线的两条切线
、
，切点为
、
，探究：直线
是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.
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