【题目】已知函数,
.
若
是函数
的极值点,求曲线
在点
处的切线方程;
若函数
在区间
上为单调递减函数,求实数a的取值范围;
设m,n为正实数,且
,求证:
.
【答案】(1);(2)
;(3)见解析
【解析】
求出导函数,得到函数
的极值点,解得
,求出切线的斜率为
,切点为
,然后利用点斜式求解切线方程;
由
知
,利用函数
在区间
上为单调递减函数,得到
在区间
上恒成立,推出
,设
,
,
,利用基本不等式
,再求出函数的最大值,可得实数
的取值范围;
利用分析法证明,要证
,只需证
,设
,
,利用导数研究函数的单调性,可得
,从而可得结论.
,
.
是函数
的极值点,
,解得
,
经检验,当时,
是函数
的极小值点,符合题意
此时切线的斜率为,切点为
,
则所求切线的方程为
由
知
因为函数在区间
上为单调递减函数,
所以不等式在区间
上恒成立
即在区间
上恒成立,
当时,由
可得
,
设,
,
,
当且仅当时,即
时,
,
又因为函数在区间
上为单调递减,在区间
上为单调递增,
且,
,
所以当时,
恒成立,
即,也即
则所求实数a的取值范围是
,n为正实数,且
,
要证
,只需证
即证只需证
设,
,
则在
上恒成立,
即函数在
上是单调递增,
又,
,即
成立,
也即成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙两台机床同时生产一种零件,其质量按测试指标划分:指标大于或等于100为优品,大于等于90且小于100为合格品,小于90为次品,现随机抽取这两台机床生产的零件各100件进行检测,检测结果统计如下:
测试指标 | [85,90) | [90,95) | [95,100) | [100,105) | [105,110) |
甲机床 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
乙机床 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
(1)试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率;
(2)甲机床生产1件零件,若是优品可盈利160元,合格品可盈利100元,次品则亏损20元,假设甲机床某天生产50件零件,请估计甲机床该天的利润(单位:元);
(3)从甲、乙机床生产的零件指标在[90,95)内的零件中,采用分层抽样的方法抽取5件,从这5件中任意抽取2件进行质量分析,求这2件都是乙机床生产的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图是函数的导函数
的图象,给出下列命题:①-2是函数
的极值点;②1是函数
的极值点;③
在
处切线的斜率小于零;④
在区间
上单调递增.则正确命题的序号是_______.(写出所有正确命题的序号)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),直线
的参数方程为
(
为参数),且直线
与曲线
交于
两点,以直角坐标系的原点为极点,以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2) 已知点的极坐标为
,求
的值
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义域和值域均为[-a,a]的函数y=和y=g(x)的图象如图所示,其中a>c>b>0,给出下列四个结论正确结论的是( )
A.方程f[g(x)]=0有且仅有三个解B.方程g[f(x)]=0有且仅有三个解
C.方程f[f(x)]=0有且仅有九个解D.方程g[g(x)]=0有且仅有一个解
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着智能手机的普及,各类手机娱乐软件也如雨后春笋般涌现. 如表中统计的是某手机娱乐软件自2018年8月初推出后至2019年4月底的月新注册用户数,记月份代码为(如
对应于2018年8月份,
对应于2018年9月份,…,
对应于2019年4月份),月新注册用户数为
(单位:百万人)
(1)请依据上表的统计数据,判断月新注册用户与月份线性相关性的强弱;
(2)求出月新注册用户关于月份的线性回归方程,并预测2019年5月份的新注册用户总数.
参考数据:,
,
.
回归直线的斜率和截距公式:,
.
相关系数(当
时,认为两相关变量相关性很强. )
注意:两问的计算结果均保留两位小数
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