【题目】如图,在三棱锥中,
,
,
,
,
分别为线段
上的点,且
,
.
(1)证明:;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)由已知可得平面
,得到
,从而得到
平面
,即
,然后利用勾股定理得
,从而得到
平面
,由线面垂直得性质定理即可得到证明;(2)根据已知条件可建立以
为坐标原点,以
为
轴、
轴、
轴的正方向建立的空间直角坐标系,求出平面
和面
的法向量,利用向量公式计算即可得到答案.
(1)证明:由,
,且
,
则平面
,
平面
,
故,
又,
,
则平面
,
平面
,
故.
因为,
,
所以,
故.
又因为,
所以平面
,
又平面
,则
(2)由(1)知,为等腰直角三角形,过
作
垂直
于
,
易知,,又
,故
由,
,得
,
故
以为坐标原点,分别以
为
轴、
轴、
轴的正方向建立空间直角坐标系
,如图所示,
则,
,
,
,
,
,
,
.
设平面的法向量为
,则
,
令,得
设平面的法向量为
则,
令,则
,
,故
,
由图可知二面角为钝角,
故二面角的余弦值为
.
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【题目】节能减排以来,兰州市100户居民的月平均用电量单位:度
,以
分组的频率分布直方图如图.
求直方图中x的值;
求月平均用电量的众数和中位数;
估计用电量落在
中的概率是多少?
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【题目】如图,在各棱长均为2的三棱柱中,侧面
底面ABC,
.
(1)求侧棱与平面
所成角的正弦值的大小;
(2)已知点D满足,在直线
上是否存在点P,使DP∥平面
?若存在,请确定点P的位置,若不存在,请说明理由.
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【题目】甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,假设每局比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙、乙胜丙的概率都为
,各局比赛的结果都相互独立,第
局甲当裁判.
(1)求第局甲当裁判的概率;
(2)记前局中乙当裁判的次数为
,求
的概率分布与数学期望.
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【题目】对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下:
寿命分组/h | 100~200 | 200~300 | 300~400 | 400~500 | 500~600 |
个数 | 20 | 30 | 80 | 40 | 30 |
(1)求下表中的x,y;
寿命分组/h | 频数 | 频率 |
100~200 | 20 | 0.10 |
200~300 | 30 | x |
300~400 | 80 | 0.40 |
400~500 | 40 | 0.20 |
500~600 | 30 | y |
合计 | 200 | 1 |
(2)从频率分布直方图估计电子元件寿命的第80百分位数是多少.
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【题目】已知函数
(1)求函数的单调增区间;最大值,以及取得最大值时x的取值集合;
(2)已知中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,若
,求实数a的取值范围.
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【题目】某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程;
(2)利用(1)计算2002年和2006年粮食需求量的残差;
(3)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。
公式:
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