【题目】如图,在各棱长均为2的三棱柱中,侧面
底面ABC,
.
(1)求侧棱与平面
所成角的正弦值的大小;
(2)已知点D满足,在直线
上是否存在点P,使DP∥平面
?若存在,请确定点P的位置,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)恰好为
点.
【解析】
(1)建立空间直角坐标系,求出AA1向量,平面AA1C1C的法向量,然后求出侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小;
(2)在(1)的前提下,求出,设出P的坐标,使DP∥平面AB1C,即
与法向量共线,再求出P的坐标.
(1)∵侧面底面ABC,作A1O⊥AC于点O,
∴平面
.
又,且各棱长都相等,
∴,
,
.
故以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,
则,
,
,
,
∴,
,
.
设平面的法向量为
则,取
,得
.
设侧棱AA1与平面AB1C所成角的为θ,
则,
∴侧棱与平面
所成角的正弦值为
.
(2)∵,而
,
∴,又∵
,∴点
.
假设存在点P符合题意,则点P的坐标可设为,∴
∵DP∥平面,
为平面
的法向量,∴
,得z=
,
又由,得
,∴
.
又平面
,故存在点P,使DP∥平面
,其坐标为
,
即恰好为点.
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【题目】有200人参加了一次会议,为了了解这200人参加会议的体会,将这200人随机号为001,002,003,…,200,用系统抽样的方法(等距离)抽出20人,若编号为006,036,041,176, 196的5个人中有1个没有抽到,则这个编号是( )
A. 006B. 041C. 176D. 196
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【题目】如图,四棱柱中,
底面
,底面
是梯形,AB//DC,
,
(1).求证:平面平面
;
(2)求二面角的平面角的正弦值
(3).在线段上是否存在一点
,使AP//平面
.若存在,请确定点
的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为
(1)求频率分布直方图中的值;
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;
(3)从评分在的受访职工中,随机抽取2人,求此2人评分都在
的概率.
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【题目】(12分)已知椭圆的离心率为
,椭圆C的长轴长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线与椭圆C交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】利用随机模拟的方法可以估计圆周率的值,为此设计如图所示的程序框图,其中
表示产生区间
上的均匀随机数(实数),若输出的结果为786,则由此可估计
的近似值为( )
A. 3.134 B. 3.141 C. 3.144 D. 3.147
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