【题目】如图,四棱柱中,
底面
,底面
是梯形,AB//DC,
,
(1).求证:平面平面
;
(2)求二面角的平面角的正弦值
(3).在线段上是否存在一点
,使AP//平面
.若存在,请确定点
的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在点
是
的中点,使
平面
,证明见解析.
【解析】
(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面
;
(2)由(1)知,且
平面
,可知
为二面角的平面角,在
中利用勾股定理得到
即可求得
的正弦值;
(3)根据线面平行的判定定理进行证明即可得到结论.
证明:(1)因为底面
,所以
底面
,
因为底面
,
所以,
因为底面是梯形,
,
,
,
因为,所以
,
所以,
,
所以在中,
,
所以,
所以,
又因为,
所以平面
,
因为平面
,
所以平面平面
,
(2)由(1)知,且
平面
,则
为二面角
的平面角,
,
由勾股定理可得
即二面角的平面角的正弦值为
.
(3)存在点是
的中点,使
平面
证明如下:取线段的中点为点
,连结
,
所以,且
因为,
,
所以,且
所以四边形是平行四边形.
所以.
又因为平面
,
平面
,
所以平面
.
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【题目】某码头有总重量为吨的一批货箱,对于每个货箱重量都不超过
吨的任何情况,都要一次运走这批货箱,则至少需要准备载重
吨的卡车( )
A.辆B.
辆C.
辆D.
辆
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【题目】小明非常喜欢葫芦娃七兄弟的人偶玩具,小明的妈妈答应小明买其中的两个,面对红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七个造型各异的玩偶小明举棋不定.
(1)请列举出小明购买人偶的所有结果;
(2)事件A为“小明至少从红、橙、黄三个人偶中购买一个”,求事件A发生的概率.
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【题目】节能减排以来,兰州市100户居民的月平均用电量单位:度
,以
分组的频率分布直方图如图.
求直方图中x的值;
求月平均用电量的众数和中位数;
估计用电量落在
中的概率是多少?
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【题目】某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场销售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物线段表示.
(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿收益最大?(注:市场售价和种植成本的单位:元/kg,时间单位:天.)
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【题目】某球迷为了解两支球队的攻击能力,从本赛季常规赛中随机调查了20场与这两支球队有关的比赛.两队所得分数分别如下:
球队:122 110 105 105 109 101 107 129 115 100
114 118 118 104 93 120 96 102 105 83
球队:114 114 110 108 103 117 93 124 75 106
91 81 107 112 107 101 106 120 107 79
(1)根据两组数据完成两队所得分数的茎叶图,并通过茎叶图比较两支球队所得分数的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);
(2)根据球队所得分数,将球队的攻击能力从低到高分为三个等级:
球队所得分数 | 低于100分 | 100分到119分 | 不低于120分 |
攻击能力等级 | 较弱 | 较强 | 很强 |
记事件“
球队的攻击能力等级高于
球队的攻击能力等级”.假设两支球队的攻击能力相互独立. 根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求
的概率.
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【题目】在三棱柱中,
平面
,
,
,
,点D在棱
上,且
,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)当时,求异面直线
与
的夹角的余弦值;
(2)若二面角的平面角为
,求
的值.
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【题目】如图,在各棱长均为2的三棱柱中,侧面
底面ABC,
.
(1)求侧棱与平面
所成角的正弦值的大小;
(2)已知点D满足,在直线
上是否存在点P,使DP∥平面
?若存在,请确定点P的位置,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数
(1)求函数的单调增区间;最大值,以及取得最大值时x的取值集合;
(2)已知中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,若
,求实数a的取值范围.
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