Question

已知向量

m

=（cosx，1-asinx），

n

=（cosx，2），设f（x）=

m

•

n

，且函数f（x）的最大值为g（a）．
（Ⅰ）求函数g（a）的解析式．
（Ⅱ）设0≤θ≤2π，求函数（2cosθ+1）的最大值和最小值以及对应的值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的数量积及其对a分类讨论即可得出．
（II）由θ的范围即可得出2cosθ+1的范围，进而利用（I）即可得出最值．

解答：解：（Ⅰ）由题意知f（x）=

m

•

n

=cos²x+2-2asinx=-sin²x-2asinx+3，
令t=sinx，则-1≤t≤1，从而h（t）=-t²-2at+3=-（t+a）²+a²+3，t∈[-1，1]．
对称轴为t=-a．
①当-a≤-1，即a≥1时，
h（t）=-t²-2at+3在t∈[-1，1]上单调递减，h（t）_max=h（-1）=2a+2；
②当-1＜-a＜1，即-1＜a＜1时，h（t）在[-1，-a]上单调递增，在[-a，1]上单调递减，∴h(t)max=h(-a)=a2+3．
③-a≥1，即a≤-1，h（t）=-t²-2at+3在t∈[-1，1]上单调递增，h（t）_max=h（1）=-2a+2；
综上，g(a)=

-2a+2，a≤-1 a2+3，-1＜a＜1 2a+2，a≥1

．
（2）由0≤θ＜2π知，-1≤2cosθ+1≤3．
又因为g（a）在[-1，0]上单调递减，在[0，3]上单调递增，
所以g（2cosθ+1）_max=max{g（-1），g（3）}=g（3）=8．θ=0；
g（2cosθ+1）_min=g（0）=3，θ=

2

3

π．

点评：熟练掌握向量的数量积运算、二次函数的单调性、分类讨论的思想方法等是解题的关键．