Question

16．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象如图所示：
（1）求ω和φ的值，并写出函数f（x）的表达式；
（2）求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位所对应的函数g（x）是偶函数．
（3）在（2）的条件下，若函数y=h（x）与函数g（x）的图象关于直线x=$\frac{1}{2}$对称，试求当x∈[1，$\frac{4}{3}$]时函数y=h（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由函数图象求得函数周期，利用周期公式求得ω，再由图象得到x=-$\frac{π}{12}$时，f（x）=0由此求得φ值．
（2）利用三角函数的图象关系，结合三角函数的奇偶性即可得到结论．
（3）由函数y=g（x）与y=h（x）的图象关于直线x=$\frac{1}{2}$对称，得到h（x）=g（1-x），求出h（x）解析式，根据x的范围求出这个角的范围，进而求出h（x）的最小值．

解答 解：（1）由图象知最小正周期T=$\frac{2}{3}$（$\frac{11π}{12}$$+\frac{π}{12}$）=$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{ω}$，
故ω=3，
又x=-$\frac{π}{12}$时，f（x）=0，
即2sin[3×（$-\frac{π}{12}$）+φ]=0，可得φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z．
又∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{4}$），
f（x）的图象向左平移m个单位后得g（x）=2sin[3（x+m）+$\frac{π}{4}$]=2sin（3x+3m+$\frac{π}{4}$）．
若g（x）是偶函数，当且仅当3m+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
即m=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$（k∈Z），
从而，最小正实数m=$\frac{π}{12}$．
（3）由（2）可得g（x）=2cos3x，
∴h（x）=g（1-x）=2cos[3（1-x）]=2cos（3-3x），
∵x∈[1，$\frac{4}{3}$]，3-3x∈[-1，0]，
∴h（x）=2cos（3-3x）∈[2cos1，2]，
∴当x∈[1，$\frac{4}{3}$]时函数y=h（x）的最小值为：2cos1．

点评 本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，考查了三角函数值的求法，以及函数图象的平移变换，求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．