Question

设公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{bn}满足bn=

2n+1Sn

n+3

，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

分析：（I）由已知可得，a32=a1a7，利用等差数列的通项公式及已知可求公差d，进而可求通项
（II）由（I）可知，Sn=

n(n+3)

2

，进而可得b_n=n•2ⁿ，利用错位相减可求数列的和

解答：解：（I）设数列{a_n}的公差为d
∵a₁，a₃，a₇成等比数列
∴a32=a1a7
∴(a1+2d)2=a₁•（a₁+6d）
∵a₁=2
∴d=1或d=0（舍去）
∴a_n=2+（n-1）•1=n+1
（II）由（I）可知，Sn=

n(n+3)

2

∴b_n=n•2ⁿ
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ
∴2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹
两式相减可得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n.2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
∴Tn=(n-1)•2n+1+2

点评：本题主要考查了等差数列与等比 数列的基本运算，数列求和的错位相减求和方法的应用是解答本题的关键