Question

设公差不为0的等差数列{a_n}的首项为1，且a₂，a₅，a₁₄构成等比数列．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b_n}满足＋＋…＋＝1－，n∈N^*，求{b_n}的前n项和T_n．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）T_n＝3－.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）主要利用等差、等比的概念来求；（Ⅱ）可以构造新数列，则＋＋…＋＝1－为其前项和，通过可求数列的通项公式，再根据可求，然后对其求和；

试题解析：(Ⅰ) 设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），则

∵a₂，a₅，a₁₄构成等比数列，

∴＝a₂a₁₄，

即(1＋4d)²＝(1＋d)(1＋13d)，

解得d＝0（舍去），或d＝2．

∴a_n＝1＋(n－1)×2＝2n－1．                    4分

（Ⅱ）由已知＋＋…＋＝1－，n∈N^*，

当n＝1时，＝；

当n≥2时，＝1－－(1－)＝．

∴＝，n∈N^*．

由（Ⅰ），知a_n＝2n－1，n∈N^*，

∴b_n＝，n∈N^*．

又T_n＝＋＋＋…＋，

T_n＝＋＋…＋＋．

两式相减，得

T_n＝＋(＋＋…＋)－＝－－，

∴T_n＝3－．                         12分

考点：等差、等比的基本概念；错位相减求和.