Question

设F₁、F₂分别双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|，且cos∠PF1F2=

4

5

，则双曲线的渐近线方程为（　　）

A．3x±4y=0

B．3x±5y=0

C．4x±3y=0

D．5x±4y=0

Answer 1

分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，从而得出正确答案．

解答：解：依题意|PF₂|=|F₁F₂|，可知三角形PF₂F₁是一个等腰三角形，F₂在直线PF₁的投影A是线段PF₁中点，
由勾股定理知可知|PF₁|=2|F₁A|=2|F₁F₂|cos∠PF₁F₂=2×2c×

4

5

=

16c

5

，
根据双曲定义可知|PF₁|-|PF₂|=2a，
即

16c

5

-2c=2a，整理得c=

5

3

a，代入c²=a²+b²整理得4b=3a，求得

b

a

=

3

4

∴双曲线渐近线方程为y=±

3

4

x，即3x±4y=0
故选A．

点评：本题主要考查双曲线的简单性质、三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．