Question

已知等差数列{a_n}满足

S9

9

-a₂=6，其中s_n为数列{a_n}的前n项和，若存在两项a_m、a_n使得a_m+a_n=2a₁+14，则

1

m

+

4

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质,基本不等式

专题：计算题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：设等差数列的公差为d，运用求和公式，可得d=2，再由通项公式可得m+n=9，再由

1

m

+

4

n

=

1

9

（m+n）（

1

m

+

4

n

），化简整理，再由基本不等式即可得到最小值．

解答： 解：设等差数列的公差为d，
则

S9

9

-a₂=6，

9a1+36d

9

-a₁-d=6，
解得d=2，
由于a_m+a_n=2a₁+14，
则a₁+2（m-1）+a₁+2（n-1）=2a₁+14，
则有m+n=9，
则

1

m

+

4

n

=

1

9

（m+n）（

1

m

+

4

n

）=

1

9

（5+

n

m

+

4m

n

）
≥

1

9

（5+2

n m • 4m n

）=1，
当且仅当n=2m=6时，取得最小值，且为1．
故答案为：1．

点评：本题考查等差数列的通项和求和公式，考查基本不等式的运用：求最值，注意1的代换，考查运算能力，属于中档题和易错题．