Question

已知函数f（x）=

ax-a-x

ax+a-x

（a＞0，a≠1）
（1）判定函数f（x）的奇偶性；
（2）判定函数f（x）的单调性并证明你的结论．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判定函数f（x）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义进行判定函数f（x）的单调性并证明．

解答： 解：（1）函数的定义域为R，
则f（-x）=

a-x-ax

a-x+ax

=-

ax-a-x

ax+a-x

=-f（x），
即f（-x）=-f（x），则函数f（x）是奇函数；
（2）设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

a-x1-ax1

a-x1+ax1

-

a-x2-ax2

a-x2+ax2

=

(a-x1-ax1)(a-x2+ax2)-(a-x2-ax2)(a-x1+ax1)

(a-x1+ax1)(a-x2+ax2)

=

2(a2x1-a2x2)

(a2x1+1)(a2x2+1)

，
若a＞1，则a2x1＜a2x2，则f（x₁）＜f（x₂），此时函数f（x）为单调递增函数，
若0＜a＜1，则a2x1＞a2x2，则f（x₁）＞f（x₂），此时函数f（x）为单调递减函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性和函数单调性的判断，利用奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．