如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB, PC的中点
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:EF⊥CD;
(3)若ÐPDA=45°,求EF与平面ABCD所成的角的大小.
(1)∵ABCD是矩形,取PB的中点为G,连GF,GE,证得平面GEF//平面PAD,EF∥平面PAD。(2)证明△PAE≌△CBE,得出EF⊥PC。又CD⊥GE证得CD⊥平面GEF,推出EF⊥CD。
(3)EF与面ABCD所成的角为45°。
解析试题分析:(1)∵ABCD是矩形,取PB的中点为G,连GF,GE,由三角形中位线定理,知GF//BC//AD,GE//PA,又GE与GF交于G,PA与AD交于A,所以平面GEF//平面PAD,EF∥平面PAD。
(2)∵ABCD是矩形,∴CB=AD、∠CBE=90°、BC⊥CD。
∵PA⊥平面ABCD,∴∠PAE=90°。
∵PA=AD、CB=AD,∴PA=CB,又AE=BE、∠PAE=∠CBE=90°,∴△PAE≌△CBE,
∴CE=PE,而F∈PC且PF=CF,∴EF⊥PC。
∵G、F分别是PB、PC的中点,∴GF是△PBC的中位线,∴GF∥BC,而BC⊥CD,
∴CD⊥GF。
∵G、E分别是PB、AB的中点,∴GE是△BPA的中位线,∴GE∥PA,而PA⊥平面ABCD,
∴GE⊥平面ABCD,∴CD⊥GE。
由CD⊥GF、CD⊥GE、GF∩GF=G,∴CD⊥平面GEF,∴EF⊥CD。
(3)过F作FO⊥AC交AC于O。
∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AC,PA⊥EO,得:FO∥PA,FO⊥EO,AO=CO。
由PF=CF,FO∥PA,得:FO=PA。
由AE=BE,AO=CO,得:EO=BC。
由PA⊥面ABCD,FO∥PA,得:FO⊥面ABCD,∴∠FEO就是EF与面ABCD所成的角。
∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AD,又∠PDA=45°,∴PA=AD,结合证得的FO=PA,
得:FO=AD。
∵ABCD是矩形,∴AD=BC,结合证得的EO=BC,得:EO=
AD。
由FO=AD,EO=
AD,FO⊥EO,得:∠FEO=45°。
即:EF与面ABCD所成的角为45°。
考点:本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系,角的计算。
点评:中档题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,利用向量则能简化证明过程。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900。
求证:(1)PC⊥BC;
(2)求点A到平面PBC的距离。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在四棱锥中,底面
为直角梯形,且
,
,侧面
底面
. 若
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)侧棱上是否存在点
,使得
平面
?若存在,指出点
的位置并证明,若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE=
(1)求证:平面EAB⊥平面ABCD
(2)求二面角A-EC-D的余弦值
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在三棱锥P -ABC中,点P在平面ABC上的射影D是AC的中点.BC ="2AC=8,AB" =
(I )证明:平面PBC丄平面PAC
(II)若PD =,求二面角A-PB-C的平面角的余弦值.
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