Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=

2(n=1) 2an(n≥2)

．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设b_n=

Sn+1

(Sn+lognSn)(Sn+1+log2Sn+1)

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ根据）n≥2时 a_n=（S_n-S_n-1）得出S_n=2S_n-1，S₁=2为等比数列，求出Sn=2n进一步求出a_n；
（Ⅱ）先由（Ⅰ）求出b_n═

1

2n+n

-

1

2n+1+n+1

写出T_n=

1

2+1

-

1

22+2

+

1

22+2

-

1

23+3

+…+

1

2n+n

-

1

2n+1+n+1

得出值．

解答： 解：（Ⅰ）n≥2时，S_n=2a_n=2（S_n-S_n-1），
∴S_n=2S_n-1，S₁=2
所以Sn=2n
an=

2n-1(n≥2) 2(n=1)

（Ⅱ）bn=

2n+1

(2n+n)(2n+1+n+1)

=

1

2n+n

-

1

2n+1+n+1

T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2+1

-

1

22+2

+

1

22+2

-

1

23+3

+…+

1

2n+n

-

1

2n+1+n+1

=

1

3

-

1

2n+1+n+1

点评：本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的求法，求和关键是求出通项确定方法，属于一道中档题．