Question

（本小题满分14分）已知区域的外接圆C与x轴交于点A₁、A₂，椭圆C₁以线段A₁A₂为长轴，离心率．
⑴求圆C及椭圆C₁的方程；
⑵设圆与轴正半轴交于点D，点为坐标原点，中点为，问是否存在直线与椭圆交于两点，且？若存在，求出直线与夹角的正切值的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

，

解：⑴由题意可知，区域是以及点为顶点的三角形，
∵，∴为直角三角形．                         ……2分
∴外接圆C以原点O为圆心，线段A₁A₂为直径，故其方程为．
∵2a=4，∴a=2．
又，∴，可得．
∴所求椭圆C₁的方程是．                                                                ……6分
⑵点坐标为，故点坐标为，显然可满足要求；时不满足题意．                                                              ……8分
当时，设的方程为，
由，得，
由，得；            ……10分
设，的中点为，
则．
，即，解得．
……12分
，得．
综上，直线与夹角的正切值的取值范围是．         ……14分