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    【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），把曲线横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线，直线的普通方程是，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系；

    （1）求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；

    （2）记射线与交于点，与交于点，求的值.

    【答案】（1）直线的极坐标方程： ；曲线的普通方程为：（2）

    【解析】

    （1）利用化直线的直角方程为极坐标方程，先消参数得曲线的普通方程，再根据变换得结果，（2）将直角方程化为极坐标方程，再代入，解得，，即得结果.

    （1）将代人直线的方程，得：，化简得直线的极坐标方程：

    由曲线的参数方程消去参数得曲线的普通方程为：，

    经过伸缩变换得代入

    得：，

    即，

    故曲线的普通方程为：

    （2）由（1）将曲线的普通方程化为极坐标方程：，

    将代人得，

    将代入得：，

    故.

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    （Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

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    【答案】

    【解析】

    设左焦点为，利用双曲线的定义，得到当三点共线时，三角形的周长取得最小值，并求得最小的周长.

    设左焦点为，根据双曲线的定义可知，所以三角形的周长为，当三点共线时，取得最小值，三角形的周长取得最小值. ，故三角形周长的最小值为.

    【点睛】

    本小题主要考查双曲线的定义，考查三角形周长最小值的求法，属于中档题.

    【题型】填空题
    【结束】
    16

    【题目】已知分别是双曲线的左、右焦点，过点作垂直与轴的直线交双曲线于，两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是_______．

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    【题目】已知双曲线与椭圆有相同的焦点.

    求双曲线的方程；

    以为中点作双曲线的一条弦，求弦所在直线的方程.

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    【题目】2018年非洲猪瘟在东北三省出现，为了进行防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地一养猪场提供技术服务，收费标准是：每天公司收取养猪场技术服务费120元，当天若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药的猪超过45头，超过部分每头收取药费8元.

    （1）设医药公司日收费为（单位：元），每天需要用药的猪的数量为（单位：头），，试写出医药公司日收取的费用关于的函数关系式；

    （2）若该医药公司从10月1日起对该养猪场提供技术服务，10月31日该养猪场对其中一个猪舍9月份和10月份猪的发病数量进行了统计，得到如下列联表.

    9月份

    10月份

    合计

    未发病

    40

    85

    125

    发病

    65

    20

    85

    合计

    105

    105

    210

    根据以上列联表，判断是否有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关？

    附：，其中.

    0.050

    0.010

    0.001

    3.841

    6.635

    10.828

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    【题目】为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的前三组的频率之比为1：2：3，其中体重在的有5人.

    （1）求该校报考飞行员的总人数；

    （2）从该校报考飞行员的体重在学生中任选3人，设表示体重超过70的学生人数，求的分布列和数学期望.

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    【题目】定义个数的“倒均值”.

    （1）若数列的前项，的“倒均值”. 求的通项公式

    （2）在（1）的条件下，令，试研究数列的单调性，并给出证明.

    （3）在（2）的条件下，设函数，对于数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出在最小的实数，若不存在，说明理由.

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    【题目】已知函数，.

    （1）讨论函数的单调性；

    （2）若，恒成立，求实数的取值范围.

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    （1）当时，求函数的极值；

    （2）若函数有两个零点，求证：.

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