Question

已知10件不同的产品中共有3件次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有3件次品为止．
（1）求恰好在第5次测试时3件次品全部被测出的概率；
（2）记恰好在第k次测试时3件次品全部被测出的概率为f（k），求f（k）的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，若恰好在第5次测试时3件次品全部被测出，则第5次取出第3件次品，前4次中有2次是次品，2次是正品；有排列、组合数公式可得其情况数目，易得从10件产品中顺序取出5件的情况数目，由等可能事件的概率，计算可得答案；
（2）根据题意，分析可得k的范围是3≤k≤9，进而分3≤k≤6、7≤k≤9时讨论，由等可能事件计算可得f（k），比较大小可得答案．
解答：解：（1）若恰好在第5次测试时3件次品全部被测出，则第5次取出第3件次品，前4次中有2次是次品，2次是正品；
则有A₃¹C₇²A₄⁴种情况，从10件产品中顺序取出5件，有A₁₀⁵种情况，
则第5次测试时3件次品全部被测出的概率，
（2）根据题意，分析可得k的范围是3≤k≤9，
当3≤k≤6时，若恰好在第k次测试时3件次品全部被测出，则第k次取出第3件次品，前k-1次中有2次是次品，k-3次是正品；而从10件产品中顺序取出k件，有A₁₀^k种情况，则，
则f（3）=，f（4）=，f（5）=，f（6）=；
当k=7时，即恰好在第7次测试时3件次品全部被测出，有两种情况，一是第7次取出第3件次品，前6次中有2次是次品，4次是正品；二是前7次没有取出次品，此时也可以测出三件次品，
则；
当k=8时，即恰好在第7次测试时3件次品全部被测出，有两种情况，一是第8次取出第3件次品，前7次中有2次是次品，5次是正品；二是前7次没有取出次品，第8次取出第1件次品，
则；
当k=9时，即恰好在第9次测试时3件次品全部被测出，有两种情况，一是第9次取出第3件次品，前8次中有2次是次品，6次是正品；二是前8次取出1次次品，第9次取出第2件次品，
．
故，．
点评：本题考查概率的计算，注意（2）中，当7≤k≤9时，计算f（k）时，需要分2种情况讨论．