Question

已知10件不同的产品中共有3件次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有3件次品为止．
（1）求恰好在第5次测试时3件次品全部被测出的概率；
（2）记恰好在第k次测试时3件次品全部被测出的概率为f（k），求f（k）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，若恰好在第5次测试时3件次品全部被测出，则第5次取出第3件次品，前4次中有2次是次品，2次是正品；有排列、组合数公式可得其情况数目，易得从10件产品中顺序取出5件的情况数目，由等可能事件的概率，计算可得答案；
（2）根据题意，分析可得k的范围是3≤k≤9，进而分3≤k≤6、7≤k≤9时讨论，由等可能事件计算可得f（k），比较大小可得答案．

解答：解：（1）若恰好在第5次测试时3件次品全部被测出，则第5次取出第3件次品，前4次中有2次是次品，2次是正品；
则有A₃¹C₇²A₄⁴种情况，从10件产品中顺序取出5件，有A₁₀⁵种情况，
则第5次测试时3件次品全部被测出的概率P=

A 1 3 C 2 7 A 4 4

A 5 10

=

1

20

，
（2）根据题意，分析可得k的范围是3≤k≤9，
当3≤k≤6时，若恰好在第k次测试时3件次品全部被测出，则第k次取出第3件次品，前k-1次中有2次是次品，k-3次是正品；而从10件产品中顺序取出k件，有A₁₀^k种情况，则f(k)=

A 1 3 C k-3 7 A k-1 k-1

A k 10

=

1

240

(k2-3k+2)，
则f（3）=

1

120

，f（4）=

1

40

，f（5）=

1

20

，f（6）=

1

12

；
当k=7时，即恰好在第7次测试时3件次品全部被测出，有两种情况，一是第7次取出第3件次品，前6次中有2次是次品，4次是正品；二是前7次没有取出次品，此时也可以测出三件次品，
则f(7)=

A 1 3 C 4 7 A 6 6 + A 7 7

A 7 10

=

2

15

；
当k=8时，即恰好在第7次测试时3件次品全部被测出，有两种情况，一是第8次取出第3件次品，前7次中有2次是次品，5次是正品；二是前7次恰有一次次品，第8次取出为合格品，
则f(8)=

A 1 3 C 5 7 A 7 7 + A 1 7 C 1 3 A 7 7

A 8 10

=

7

30

；
当k=9时，即恰好在第9次测试时3件次品全部被测出，有两种情况，一是第9次取出第3件次品，前8次中有2次是次品，6次是正品；二是前8次取出1次次品，第9次取出第2件次品，
f(9)=

A 1 3 C 6 7 A 8 8 + A 1 7 C 2 3 A 8 8

A 9 10

=

7

15

．
故f(k)min=f(3)=

1

120

，f(k)max=f(9)=

7

15

．

点评：本题考查概率的计算，注意（2）中，当7≤k≤9时，计算f（k）时，需要分2种情况讨论．